一、概述
公法線的測(cè)量原理：漸開(kāi)線任一點(diǎn)的法線都與基圓相切。因此齒輪公法線必與基圓相切，且公法線長(zhǎng)度Wk=(Kx-1)*Pbn+Sbn(其中Kx為跨齒數(shù)，Pbn為基圓法向齒距，Sbn為基圓法向弧齒厚，見(jiàn)圖1所示)。
圖1 測(cè)公法線長(zhǎng)度
跨齒數(shù)確定的基本原則：跨齒數(shù)過(guò)多，測(cè)量點(diǎn)靠齒頂;跨齒數(shù)過(guò)少，測(cè)量點(diǎn)靠齒根。因齒頂有修緣和齒根有過(guò)渡曲線，如果測(cè)砧接觸部位在齒頂或齒根等非漸開(kāi)線區(qū)域時(shí)，測(cè)量結(jié)果就不再是真正的公法線長(zhǎng)度。測(cè)量公法線時(shí)，接觸點(diǎn)以靠近齒廓中間部位為好(但要注意讓開(kāi)最大鼓形量的位置)。
跨齒數(shù)的約束條件：只要跨齒數(shù)合理，測(cè)量接觸點(diǎn)不過(guò)分靠近齒頂、齒根時(shí)，“公法線卡尺的測(cè)砧分別在齒廓兩側(cè)有效漸開(kāi)線部分的不同位置上”，對(duì)測(cè)量結(jié)果均沒(méi)有影響，公法線長(zhǎng)度數(shù)值都是相同的。因此同一個(gè)齒輪可以有幾組不同的跨齒數(shù)來(lái)測(cè)量公法線長(zhǎng)度(如圖1)。但測(cè)斜齒輪時(shí)，由于齒輪寬度Wb的限制(見(jiàn)圖2所示)，跨齒數(shù)必須滿足Wk*Sin(Bf)<wb才能測(cè)量，否則要減少跨齒數(shù)。< p=""> </wb才能測(cè)量，否則要減少跨齒數(shù)。
圖2 齒寬的限制
《機(jī)械原理》、《齒輪手冊(cè)》等專業(yè)齒輪書籍沒(méi)有詳細(xì)介紹變位外斜齒輪公法線長(zhǎng)度和跨齒數(shù)的計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程,更沒(méi)有接觸圓直徑計(jì)算公式的說(shuō)明。對(duì)一些齒廓有鼓形修形和齒頂齒根有修緣的齒輪，其測(cè)量位置對(duì)公法線長(zhǎng)度的影響沒(méi)有詳細(xì)專業(yè)的論述。而有些期刊上的跨齒數(shù)公式太煩瑣甚至有誤，對(duì)從事齒輪工作的工程技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，不能起到很好的指導(dǎo)作用。因此有必要對(duì)跨齒數(shù)的理論計(jì)算公式和取整后公法線卡尺的實(shí)際接觸圓位置進(jìn)行精確求證。
二、公式推導(dǎo)
變位外斜齒輪公法線長(zhǎng)度的計(jì)算公式
根據(jù)基圓周長(zhǎng)換算，端面基節(jié)Pbt=π*D0/Z
法向基節(jié)Pbn=Pbt*cosB0=π*D0/Z*cosB0
基圓法向弧齒厚Sbn=(Sft/df+invaft)*d0*cosB0
變位外斜齒輪公法線長(zhǎng)度的計(jì)算：Wkn=(kx-1)*Pbn+Sbn
Wkn=(kx-1)*Pbn+Sbn
=(kx-1)* π*D0/Z*cosB0+ (Sft/df+invaft)*D0*cosB0
=D0*cos(B0)*[ (kx-1) *π/Z+Sft/df +invaft] ，invaft=tan(aft)-aft。
△Wkn= D0*cos(B0) /df * △Sft ，由此可見(jiàn)公法線長(zhǎng)度公差△Wkn略小于分圓端面弧齒厚公差△Sft。
其中Z=齒數(shù)， Sft=分圓端面弧齒厚，B0=基圓螺旋角，D0=基圓直徑，df=分圓直徑，Kx=跨齒數(shù)，aft=分圓端面壓力角。
跨齒數(shù)Kx的確定
根據(jù)指定的公法線千分尺的兩邊相同的接觸圓直徑Dfx(現(xiàn)簡(jiǎn)稱為“等接觸”)，計(jì)算跨齒數(shù)Kx:
圖3 測(cè)公法線Wkx和等接觸圓直徑Dfx
根據(jù)圖3有：2*aftx=360/z*(Kx-1)+sftx/(Dfx/2)*180/π
aftx=180/z*(Kx-1)+(π*Mnx/2+2*Mnx*Xfnx*tan(afnx))/cos(Bfx)/Dfx*180/π
aftx=180/z*(Kx-1)+(π/2+2*Xfnx*tan(afnx))*Mnx/cos(Bfx)/Dfx*180/π， Mnx/cos(Bfx)/Dfx=1/z
aftx=180/z*(Kx-1)+(π /2+2*Xfnx*tan(afnx))/z*180/π
z/180*aftx=(Kx-1)+(0.5+2*Xfnx*tan(afnx)/π)
z/180*aftx=(Kx-0.5)+ 2*Xfnx*tan(afnx)/π
跨齒數(shù)Kx= z/180*aftx -2*Xfnx*tan(afnx)/π+0.5，這里的aftx、Xfnx、afnx、Mnx、Bfx等均指任意接觸圓Dfx上的參數(shù)，它滿足以下式子：
Df=Mn/cos(Bf)*Z; D0=Df*cos(aft)
Df/tan(Bf)=Dfx/tan(Bfx)
Cos(aftx)=D0/Dfx; tan(afnx)= tan(aftx) * cos(Bfx)
Mn*cos(afn)=Mnx*cos(afnx)
Sfn/cos(Bf) /df+inv(aft)= Sfnx/cos(Bfx) /Dfx+inv(aftx)
Xfnx=(Sfnx-π*Mnx/2)/(2*Mnx*tan(afnx))
要求出Dfx，則需要采用迭代運(yùn)算：當(dāng)Kx取大時(shí)，端面壓力角aftx也要加大;反之要減小。
公法線千分尺的測(cè)砧與齒廓的接觸圓直徑的計(jì)算公式
已知一邊的接觸圓直徑Dfx1，求另一邊的接觸圓直徑Dfx2(請(qǐng)參考圖4)
圖4 測(cè)公法線Wkt1和非等接觸圓直徑Dfx1
理論端面公法線
Wkt = Wkn / Cos(B0)
cosaftx1 = d0 / Dfx1
Dfx1上的壓力角
aftx1 = Atn(Sqr(1 - cosaftx1 ^ 2) / cosaftx1)
Wkt1 = d0 / 2 * Tan(aftx1)
Wkt2 = Wkt - Wkt1
Dfx1上的壓力角
aftx2 = Atn(Wkt2 * 2 / d0)
測(cè)砧接觸圓直徑
Dfx2 = d0 / Cos(aftx2)
如果知道齒輪鼓形量最大值的直徑dgmax，可以直接取Dfx1≠dgmax或Dfx2≠dgmax即可避開(kāi)該鼓形區(qū)域進(jìn)行測(cè)量。當(dāng)然在用小壓力角滾刀進(jìn)行粗加工時(shí)，齒根的過(guò)渡曲線會(huì)變長(zhǎng)，滾齒漸開(kāi)線起始圓的直徑比磨后的要大。因此測(cè)量公法線長(zhǎng)度時(shí)也要避開(kāi)此過(guò)渡區(qū)域(見(jiàn)圖5)。
圖5 滾齒仿真圖(左右兩條綠色線分別為滾齒和磨后漸開(kāi)線)
三、應(yīng)用案例分析
問(wèn)題描述
在滾削某新能源齒輪，具體參數(shù)為：Mn=2.316，Z=47，Bf1=28°，afn1=18°，Sfn1=4.155(熱前留磨量0.25，W5=33.46)，Da=131.1，Di=117.4，齒寬20。當(dāng)滾齒公法線尺寸W5=33.46時(shí)，發(fā)現(xiàn)齒根圓Di1=118.2>117.4。查滾刀設(shè)計(jì)與制造都正確，不知什么原因會(huì)導(dǎo)致滾齒時(shí)齒根圓直徑變大?
滾齒仿真分析
經(jīng)計(jì)算和滾齒仿真發(fā)現(xiàn)：滾齒后有效漸開(kāi)線起始圓直徑Φ123.85已經(jīng)接近齒廓中部，過(guò)渡曲線加長(zhǎng)了很多，按跨5齒測(cè)公法線Wk5=33.46時(shí)，計(jì)算測(cè)砧與齒廓的理論等接觸圓Dftx=121.59<123.85。這說(shuō)明實(shí)際測(cè)量公法線長(zhǎng)度時(shí)，公法線卡尺的測(cè)砧接觸到了齒廓下面的過(guò)渡曲線AB(而不是左邊綠色的漸開(kāi)線部分)。測(cè)量結(jié)果錯(cuò)誤(說(shuō)明齒厚實(shí)際偏大)，從而導(dǎo)致滾刀還沒(méi)進(jìn)到深度，就誤以為齒厚已到尺寸，這樣齒根圓直徑也就會(huì)偏大。
改進(jìn)辦法
由于從Φ123.85到齒根圓Φ117.4之間的齒形，都是非漸開(kāi)線，實(shí)際測(cè)量公法線時(shí)兩邊測(cè)砧接觸部位都必須要高于A點(diǎn)。因此增加跨齒數(shù)kx=6，讓測(cè)砧接觸位置往外移，分別計(jì)算跨6齒和跨7齒時(shí)的等接觸圓，結(jié)果如下：
圖6 跨6齒測(cè)量
圖7 跨7齒測(cè)量
根據(jù)軟件計(jì)算采用跨7齒測(cè)量Wk7=47.30，公法線卡尺的測(cè)砧等接觸圓Dftx7=127.20>123.85!但因?yàn)?7.3*sin28°=22.2> Wb=20的齒寬而無(wú)法測(cè)量。
采用跨6齒測(cè)量：Kx=6，Wk6=40.38，公法線卡尺的測(cè)砧等接觸圓Dftx6=124.19(其接觸圓的變化范圍123.85-124.53較小，需要細(xì)心檢測(cè))。這樣齒輪公法線長(zhǎng)度和齒根圓直徑都能夠同時(shí)保證。
四、結(jié)束語(yǔ)
由于滾齒時(shí)的有效起始圓直徑比成品的SAP大。因此跨齒數(shù)選擇不合適，將會(huì)導(dǎo)致公法線千分尺的測(cè)砧接觸位置不對(duì)，從而讓公法線尺寸出現(xiàn)錯(cuò)誤。在確定跨齒數(shù)時(shí)要驗(yàn)算接觸圓尺寸位置是否在留磨時(shí)的SAP點(diǎn)和EAP點(diǎn)之間，否則測(cè)出的公法線尺寸是不對(duì)的。
對(duì)于齒形有鼓形量的產(chǎn)品，可以通過(guò)改變跨齒數(shù)及左右兩邊接觸點(diǎn)的位置(此時(shí)兩邊接觸圓直徑不相等)來(lái)讓開(kāi)高點(diǎn)。由于接觸圓直徑不能直接測(cè)量，因此需要有豐富經(jīng)驗(yàn)的師傅來(lái)?yè)?dān)當(dāng)。當(dāng)然也可以用合適的鋼球來(lái)測(cè)M值，讓接觸點(diǎn)的位置更好地避開(kāi)鼓形區(qū)域或非漸開(kāi)線區(qū)域。